教育新聞
小一教英語 部份學者專家憂心
學測今起報名 明年一月考試

主題文章—問問題的方法

推理、思索
◎蔡迪清 高中教師

這次的「問問題的方法」，想要藉由一個謎題，來和大家談談推理和思索。這次的內容，會出現很多數字和四則運數，希望大家拿起一張紙，一隻筆，來跟我們一起來想想看。

來解答「終極警探Ⅲ」裡的問題

這個謎題來自布魯斯威利和山繆傑克森主演的「終極警探Ⅲ」這部電影，題目是：

有兩個瓶子，一個5公升，另一個3公升。若水能無限制供應，你怎麼準確地得到4公升水？
注意：工具只有這兩個瓶子，也不能在瓶上做記號。

當然啦！我們大可從從容容地去想怎麼解決這個問題，而不會像劇中人一樣，答錯了就要命喪黃泉。前兩個星期，我把這個謎題寄給我的一些朋友，徵求解答，很迅速地，答案如雪片一般飛來。大體而言，可以分成兩種解答方式：

第一類的想法是，我們要求4公升，而四公升最終顯然必須放在五公升的瓶子裏，所以，我們得從5公升這個瓶子上下手。如果我們能精準地倒掉1公升，就能得到4公升了，要能精準地倒掉1公升，瓶上又沒有刻度，唯一的方法就是3公升瓶子裏只剩1公升空間，也就是3公升瓶子裏要先有2公升水。如此，第一個方法就成形了：

先裝滿5公升的水倒在3公升的瓶，5公升水瓶中就只剩下2公升
再把這2公升的水，倒進3公升的的瓶子
再將5公升瓶裝滿水，倒到已有2公升水的3公升瓶子中
5公升瓶子現在剩下4公升水。

第二類的想法是，我們已經有3公升瓶子了，只要再精準地量出1公升，3+1就等於4了。這個1公升怎麼來？看著3和5這兩個數字，我們腦海裏浮現出一個簡單的等式2*3-5=1。如此，第二個方法就成形了：

3公升瓶裝滿，倒到5公升瓶
再將3公升瓶裝滿，倒到5公升瓶，這樣3公升瓶會剩一公升
將5公升瓶子清空，將3公升瓶中剩的一公升，放到5公升瓶內
再將3公升瓶裝滿，再倒到5公升瓶 就有4公升了。

我還收到一個很有想像力的解法，他的想法是3+5=8，只要能求得其半，也就得到4公升了。怎麼做呢？他的做法是：

兩個瓶子傾斜，讓水流出至對角線。
則5公升的水瓶可得到一半，即2．5公升的水。
同樣，3公升的水瓶可得到一半，即1．5公升的水。
將1．5公升的水倒入5公升的水瓶即可得到4公升的水。

這個方法乍聽之下很簡單明瞭，不過這個做法有一個問題，就是我們並不確定杯子可以有所謂的對角線，再者，就算有對角線，也不見得就是把瓶子均分為二。這個問題很值得我們警惕，這是我們在做推理思考時最常犯的錯誤。也就是我們常常會把我們自己習以為常的概念，當做是一個條件加入思考的過程。像上面這個例子，就是很明顯地把瓶子當做對稱形的瓶子，但題目中並無此條件。

將特殊例子普遍化

在電影中看到這個謎題，我不免想到，只能這樣嗎？我想把它擴充一下，讓他更一般化，我想問：

如果換了4公升和9公升的瓶子，水一樣無限供應，
我們能準確地量出1～13公升的水嗎？

這次不是單單量出某一特定容量的水，而是從1到13（兩個瓶子的總合）都得量出來，如此一來，我們可以了解我們做的不是特殊例子。這也是科學發展的一個重要歷程，就是把特殊的例子普遍化。

我也把這個問題寄給我的朋友們，很快的，我又收到了許多解答。可是，我們能不能找出一套方法，有系統的解決這種問題呢？現在我們一起來想想看：

思考這個問題時，我們可以先分析一下這個問題本身，請大家先在紙上寫上1～13這13個數字。

我們發現其中1、4、5、9、13這幾個數字是顯而易見，4跟9本就是瓶子的容量，4+9=13，9-4=5，9-4-4=1。現在未知的只剩下2、3、6、7、8、10、11、12這8個數字，而其中10=9+1、11=9+2、12=9+3；6=10-4、7=11-4、8=12-4，所以基本上，我們真的需要去找的並不多。

如果我剛剛說的，你有記下來，你會發現答案已經出現。讓我們一起量一回吧！

首先把9公升裝滿，（請把9畫掉），用這些水把4公升瓶裝滿，則9公升裏剩5公升，（可以把5和4畫掉了），先把4公升瓶倒光，再用這5公升水把4公升瓶裝滿，則9公升瓶裏剩1公升（1公升也可以畫掉了）。接下來很精采，請大家注意。先把4公升放空，把這1公升倒過去，再在9公升空瓶裏注滿水，這就是我們剛剛說的9+1的用意，這時我們有10公升了，把9公升瓶裏的水裝滿已有1公升水的4公升瓶子，我們把這4公升瓶裏的水倒掉，則我們剩下10-4的水，也就是6公升了，我們再減掉1次4公升，就是2公升。而這2公升再加9公升又是11公升如此循環下去，我們就可以量出所有容量。

這個方法讓我們發現原來這類問題是有脈絡可循的，而不是每次都得從零試過。如果妳有興趣，可以拿這個方法來試試用5公升瓶和9公升瓶量出1～14公升，不用2分鐘的時間，我們馬上看出，它的出現順序是9、4、13、8、3、12、7、2、11、6、1、10、5、14。其他6公升、13公升的1～19公升，也都可以如法炮製。如此一來，我們發現布魯斯威利所面臨的不是一個腦筋急轉彎的問題了。而是一個有系統的，可以推理思索的過程。

確定「規則」是否為「通則」

上面這個題目聯想到此，不知道妳還會不會有問題想問？我猜想妳會想問我：「儘管4跟9能量出1～13。5跟9能量出1～14。6跟13能量出1～19。你能保證隨便拿兩個瓶子來，都可以量出1～兩個瓶子容量相加的所有容量嗎？」

我想你大概已經發現了，4公升跟8公升瓶是無法量出1公升的。沒錯，不是隨便拿兩個瓶子就行，這兩個瓶子間必須有一個特殊關係。但只要符合這個關係，就能用我們的方法來推理。

那這個特殊關係到底是什麼關係呢？我們隨便找兩個試試。考慮4跟18，我們可以找出18、14、10、6、2、20、16、12、8、4、22，但我們找不到1和其他單數；考慮6跟15，我們可以找出15、9、3、18、12、6，但我們一樣找不到1和其他無法被3除的數。至此，我們可以大膽地推論，這個關係就是「互質」了。

這個問題討論到這裏，我相信你也已經相當能掌握了。我們可以自豪地說，我能光用一個143公升和一個851公升的瓶子就精準地量出1～994中任何一個容量喔！因為143和851互質。我也知道如何用一個429公升和一個105公升的瓶子，精準地量出351公升，甚至是1～534中所有3的倍數的容量。

這個問題發展到這裏，妳會不會很驚奇電影裏短短一個謎語，可以發展出這樣多的秘密出來，這就是推理思考的威力。希望這個推理思考的練習，可以讓妳體驗一下動動腦的快感，也讓妳產生動動腦的習慣。

最後，我再提醒一下，只要看過「終極警探Ⅲ」的人都有看過我們一開始舉例的那個問題，也都用了自己的辦法解決。但是如果我們就把它當做一個特例來解決，在解決了這個問題時就停止了繼續問下去，後續的秘密也就不會出現了。

這裡面有什麼問問題的方法呢？我們可以總是嘗試--把特例通則化，找出一連串散佈特例的通則的方向去問。建立通則，也是人類文明進步的一個重要歷程！

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小一教英語 部份學者專家憂心排擠國語教學

據調查，九十一學年度全台共有八個縣市從國小一年級開始教英文。然而根據監察院的調查報告指出，部分學者專家憂心國小一年級開始的母語和英語教學，對國語教學產生嚴重的排擠效應；語言學者也痛批民進黨政府「六年後把英語變成官方語言」的政策著實荒謬、偏頗。…(聯合報11/19）

學測今起報名 明年一月考試

明年度大學入學「考試分發」方案招生簡章出爐，學科能力測驗今（十九日）起開放受理報名、明年一月考試。學測成績可使用於十種升學管道，包括日本大學申請入學。九十二年學測日期是元月二十四到二十五日，報名日期到今年十一月廿六日截止。團體一律採網路報名，個別報名可選網路或郵遞報名。 …(中國時報11/19）

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【台灣教育向前行】系列廣播節目

「台灣教育向前行」系列，總共有四個節目，分別是：

■「教育好伙伴」：（週一到週五08：10～09：00）由台北市家長協會理事長詹智慧主持，以家長為對象的，幫助家長參與教育

■「教育新航線」：（週一到週四18：00～19：00）由森林小學校長朱台翔主持，以教師為對象的，提供教師各種教學的新點子

■「教育e 點靈」：（週一到週五22：10～23：00）由人本教育基金會副執行長馮喬蘭主持，則以家長與學生為對象，協助學生與家長認識教育政策、瞭解學習

■「發現新校園」；（週六、週日22：10～23：00）由教育廣播電台主持人王欣欣主持，介紹各大專院校科系特色。

看到豐富的內容，關心教育的你是不是心動了，想一探究竟呢？歡迎收聽「台灣教育向前行」！

收聽頻率：台北、桃園及高屏地區：101.7／宜蘭、彰化、台中、雲林：103.5／台東：102.9／基隆：100.1／花蓮：103.7／玉里：100.3／竹苗：103.9／南投：98.1／嘉南：107.7／澎湖：99.1

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