人本論壇：庶民素語

有些朋友在問，說：「數學想想」的工作還在進行嗎？怎麼好久都沒什麼消息；我想，既然還有人關心， 就藉這個機會，再做一點報告吧！

其實，隨著「年級」的增長，難度是越來越高了；進入「五下」之後，更是常常陷入膠著。這和當初想的不一樣：當初以為低年級比較難教（這是說如果要有創新教學的話），到了高年級，反正萬變不離其宗，無論怎麼教還不就那一套；現在事實證明，完全不是那麼回事—當然，這也是「水漲船高」的效應之一，有了之前那些艱苦奮戰（針對教學的難題）的經驗之後，如今眼光已是大為不同，面對萬變不離其宗的那一套，也就無法不看見其中少為人知的各種可能性了。

總之，還是「教學相長」那句老話（卻絕不是老生常談）；然而空口無憑，就舉最近剛剛解開的一個結為例。

事情是這樣開始的：那時候高雄正在舉辦世運，我們認為，熱愛運動絕對是值得推廣的事情；但熱愛有兩種，一種是熱愛說嘴，一種是熱愛研究，其間不可以道里計，正是能否「想想」的關鍵。適巧我們之中有一位是屬於後者，他於是提出一個問題：三人三千公尺的接力賽，記錄是三分鐘；但千米個人賽的記錄，卻比一分鐘多，這豈不是表示「接力賽的三人中至少有一人，比個人賽的選手更快」嗎？但事實上，個人賽選手是要比接力賽選手更強才對。

換一個方式來說：接力賽三人中的任一人，如果只跑一千公尺，都要超過一分鐘以上（比個人賽選手慢），但當他們進行接力賽的時候，雖然還是一人一千公尺，但合起來，卻只要三分鐘即可（為了方便說明，以上數字經過簡化，但這是個真實的問題）。這是為什麼？

像這樣很實際的問題，即使很關心賽事的人，恐怕也很難想到；即使想到了，恐怕一時也想不透，所以我們認為絕對是「數學想想」的絕佳材料。問題是，一般小學教程裡「速度等於距離除以時間」那一套，講的都是平均速度，或假設速度始終不變；而要解決以上接力賽問題，卻必須明白：要達到任一速度，都必須經過加速的過程；而接力賽之所以更省時間，正是因為有個交棒的過程—交棒之前，後棒總是先要加速到與前棒一樣快--這麼一來，三人接力時，就省掉了後二人的加速時間。

換言之，要跟小五的孩子討論加速問題，必須先讓他有「瞬時速度」的概念；因為所謂加速，當然是指瞬時速度的增加或改變，而這是侷限在等速或平均速度概念中所無法企及的；然而，對於瞬時速度，一般都是把它定義為「在無窮小的時間間隔內的平均速度」，這在中學的相關課程中已經引發很大的困難，徹底的討論還要等到大學去修微積分，怎麼可能在小學來談這件事情？

我們討論很久，想要避開這個難關，都找不到什麼有效的途境；但又覺得，如果不要拘泥於「正統」的數學（也就是以上所說的一般定義之類），這整個事情（即接力較省時），似乎也並不是那麼難以理解。所以到了最後，因為還不肯放棄這個議題，就只剩訴諸「庶民」一法：我們找了幾位沒有修過微積分的同仁， 盯著他們一再追問，追問他們心中的「速度」，到底是指什麼？

答案出人意料地簡單：如果碼表的指針指著每小時60公里，那就表示，如果我維持這個速度走一小時， 就會走六十公里！聽起來這是廢話，但正是素人的素語，包含真正的哲理：對於他而言，瞬時速度，就是要讓瞬時凝結，再看它在現實上所呈現的結果；而在這個概念裡，完全沒有什麼「無窮小的時間間隔」！

當然，他並不能體會這是在用速度定義速度：當他說保持這個「速度」的時候，就必須先對這個速度有個定義，而不能不管它是什麼，就說要把它維持一小時。然而，當我們追問：你如何知道你確實是維持這個速度沒有變呢？如果他回答「看碼表的指針」那就糟了，因為，那就是用碼表定義碼表；但他回答：我是把油門轉到同樣的大小，再聽引擎的聲音有沒有改變啊！

所以，這就是真正的學問了：就像伽里略在大教堂裡，是先發現吊燈擺動的週期是恆定的，才用自己的脈博去測試；人們也是先感知了瞬時速度的意義，才發展出後來嚴格的定義。但我們這些「後學」不明就裡， 卻陷在後來的定義中無法自拔，以致於教給小孩的速度概念，完全是違反直觀的，其結果就是：一則小孩學來格格不入，二則，許多真正有意思的問題（例如本文所提的），都無法提供給小孩。

當然，以上所說的，只是在理論上如何處理瞬時速度的一個藍本，實際上要依這個理論，一步步引導小孩思索這些問題，並設計各種好的題目，或情境，讓小孩可以「參與」，就是更大的挑戰—在迎接這個挑戰的過程裡，我們竟然不知不覺地把「均值定理 （這是微積分的標準內容）」教給小孩了。所幸這一冊很快就要出版，到時候大家可以仔細來評斷我們的工作。

◎本文出自〈人本教育札記〉247期

校園師對生性侵害案例研討會

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面對問題，讓傷害止息

為了提升各界對於『校園師對生性侵』的了解，我們特別舉辦這次的研討會，希望從具體案例出發，集合眾人的智慧，思索出更能協助到學生、促使校園明確處理的機制，歡迎關心這個議題，在第一線協助、處理的教師、社工、法律人員、研究者及NGO人員報名參加。