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【論壇】 讓它去算，讓我來想

〉數學想想五下第二冊出版序

◎史英（人本教育基金會董事長）

有人說，現在通用的「數學」這個名詞，應該改回較早年的「算學」才對。這有它的道理，畢竟我們所謂的數學，並不是真的在研究「數字」，反倒是講求各種算法：無論是中小學的初等課程，或高深的研究領域，莫不以「算」出一個名堂為能事；而所有這些「算」，重點都不在數字，反倒是著重在「邏輯的推算」、「式子的演算」、以及構思解題的「策略的盤算」等等。

所以，我們不妨統稱它們為「計算（compute）」，正如「計算機（computer）」這個名稱所顯示的—計算機主要的工作絕不在算數字，算數字的那個東西叫做「小計算器（calculator）—放到人身上來講，一個人總得要機關算盡，算無遺策，才算是盡到計算、或算計、的能事；以此而言，無論是算計，還是計算，說穿了無非就是「努力去想」的意思（怪不得計算機又稱為電「腦」），頂多再強調必須是有計劃、有規律、而不是漫無章法的隨想。

然而，不知從何時開始，人們說起「算術」，或說小孩子應該「算數學」，意思竟變成狹義的數字的四則運算了。面對這個現象，我們當然也要做一點「計算」：到底是努力去恢復「算」就等於「思考」的原義好呢？還是乾脆隨俗，只要大聲疾呼「不要只算，更要想想」，來得更為划算？

不用說，對抗流行很困難，而從眾總是較有勝算；所以，大家就常會聽到「數學是要想想，數學不是算算」的口號，而對於我們的最愛，我們也都稱為「想想小孩」，絕不會把他們叫做「算算小孩」，好像要把他們「算算去了」似的。（以上說了很多「算」，是為了請大家分辨其原意；下文中的「算」，則都取其狹義，專指數字的加減乘除。）

說起小孩，一般人的期望，總是要他算得又快又正確（加上寫得又乾淨又整齊）；那麼，如果有這麼一個想想小孩，算得很慢，又常算錯，那怎麼辦？一個辦法，是叫他多練幾遍，這當然也沒什麼不可以；但還有另外一個辦法，是叫他把那機械的工作，直接交給「算的機器」，也就是日常可見的掌上「小計算器」。基於這條思路，我們便有了「讓它去算，讓我來想」這一課。

在這個第四課裡，書中那個想想小孩揭舉了兩個理由：「要算得快，那還不容易；我就不信有誰算得比它還快？」以及「汽車已經滿街跑了，還堅持騎馬（暗指「筆算」），是騎給觀光客看（暗指「博人掌聲」）的嗎？」，而她那「金傲算」除法的同伴，就此竟被說服，而決定從此都用汽車、不、用小計算器來算數學；然而，這「讓它去算」的宣告，還只是序曲。

重頭戲是，緊接著主角就出了新的題目：如果是要用計算器來算、例如74584733除以46825的、餘數，那該怎麼辦？書上那位熱心的爸爸想要幫忙，卻怎麼樣都找不到「求餘數」的按鍵（有一點好笑？）；於是，這就進入主題：關鍵是在，必須得懂得餘數的道理。

從這兒開始，我們讓小孩重新回味了餘數的原始意義，並進一步檢討：傳統直式除法求出的所謂餘數，是否符合餘數的定義。這是一個「深奧」的問題—一般人大概從沒有想到要這樣問：直式演算的步驟，是隨著寫出每一步的商、再一層層地往下減，並不是直接從「被除數」減去「（除數）乘以（完整的商）」（這才是餘數的本義），那麼，誰能保證減到最後的那個數，真的是餘數呢？

這樣，我們就讓孩子明白：機器固然快捷，但要有能力去「想想」怎麼用它，它才能真的為我們所用；而在用它的同時，還能更為發達我們的「想想」。但這還不是故事的全部，接下來一個自然的問題就是，如果「被除數」很大，大到超過小計算器能輸入的位數（通常是八位或十二位），那又該怎麼辦？這一回，是一個很「實際」的問題（在應用小計算器的時候）；所以，課名裡的「讓我來想」，也不僅僅是倡導一種愛智的精神而已。

其實，讓小孩用小計算器取代筆算，在上個世紀的七零年代，曾是歐美數學教育中的大膽主張，並在許多學校付諸實行；結果當然以失敗告終，因為不經由親自動手去算，小孩無法體會「算」的實質意義，因而也就無法學會它的「應用」—變成人手一機，卻都只會按加減乘除鍵—以致於這些年來，再也沒有人敢重提此議了，甚至許多人視小計算器為仇敵，認為它會毀掉小孩的數學學習。

然而，數學教育家只要靜下來「想想」，立刻就可以明白當年的失敗，罪不在小計算器，而在「讓它去算」以後就以為把數學教完了，而並沒有藉機增加「讓我去想」的幅度和深度。事實上，至今通用的手算方法，無論是前面提到的直式除（或加、減、乘）法，或分數的各種演算（例如五上第二冊中「分數分身術」那一課的各種內容），都是非常聰明、非常有智慧，可以讓小孩好好「想想」的非常實用的材料；每一個小孩，絕對應該好好學學這些從古代傳下來的「文明」，也就是，都應該學習親手去算。但是，我們必須明白，學習手算，是學習手算的那些「方法」，也就是本文一開始所說的，數學做為「算學」主要是講求「算法」。

所以，小孩在學習手算的時候，第一，不應該算太大的數字；第二，不應該追求計算的速度—因為目的是在體會那些算法的巧妙，和藏身其間的各種道理，而並不在實用。如果是為了實用的目的，無論是家庭記帳，或算利息，房價，或國家的GNP等等，那就絕對應該拿出小計算器，就像今天每一個人都會做的那樣。

總之，「讓它去算，讓我來想」這一課，是為「納入小計算器」的數學教育，做了一個demo；同時，也以實際行動宣示，要求小孩算大數字，或算很快，是某些人沒有經過「想想」的妄為。然而，這並不表示我們反對「算得快」，如果有一種「快算法」可以欣賞與想想的話；所以接著我們就安排了「餘數捷算」的課（即「拈（上）」和「拈（下）」）。至於另外的「先乘除，後加減—為什麼？」，以及「平移與複製」，就請讀者直接欣賞課文了。

《人本教育札記》2013年一月號（284期） 出刊！ 【親子QA】手機不夠新，孩子就不要？ 【台灣媽媽，猶太生活】兩個人有三個意見的以色列政治 【解放地球】尊重生命：史懷哲相信眾生平等（上） 【幸阿慧的測量】童書與公民 - 不被看見的弱勢   創刊23年，領導教育新思潮、完整記錄台灣教育的轉變。 歡迎至各大書店購閱。 洽詢訂購專線： 02-23670151 *230   下載人本教育札記訂購單(word檔)  mailto:publish@hef.org.tw