【科幻科學報 No.592】數學是發明還是發現？─科幻科學報─智邦公益電子報
enews.url.com.tw · August 01,2017最ＩＮ話題 ■ 數學是發明還是發現？
▌文╱利維歐（Mario Livio）
▌譯╱翁秉仁
▌提供／科學人
大多數人認為數學有用是理所當然，像是科學家以數學公式來描述次原子事件、工程師用數學計算太空船的路徑。我們接受最先由伽利略倡議的觀點：數學是科學的語言，其文法可以解釋實驗結果，甚至預測奇特的現象。數學驚人的威力處處可見，譬如蘇格蘭物理學家馬克士威（James Clark Maxwell）的著名方程組，他的四個算式不只總結了1860年代所有已知的電磁現象，並且預示了無線電波的存在，比德國物理學家赫茲（Heinrich Hertz）偵測到它還早了20年。極少語言這麼有效率，能將具有價值的眾多材料，如此簡潔、精確又清楚地表達出來。愛因斯坦曾反思說：「數學做為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫？」
身為一位理論天文物理學家，我在每一個工作環節都會遇到「數學不合理的有效性」（unreasonable effectiveness of mathematics），這是1960年諾貝爾物理獎得主魏格納（Eugene Wigner）的用語。不論我是在研究哪些前身恆星系統會爆炸成Ia型超新星，或者計算太陽最終變成紅巨星時地球的命運，我所使用的工具或發展的模型都是數學。數學掌握自然世界的不可思議特質，讓我始終著迷。在10年前，我對這個課題有了更深刻的想法。
數學家、物理學家、哲學家、認知科學家，早已為這個謎團的核心議題，爭論了數百年。數學到底是如愛因斯坦所相信的，是一組發明出來的工具？還是數學確實存在於某個抽象的場域，而我們只是發現其中的真理？許多著名數學家，包括希爾伯特（David Hilbert）、康托（Georg Cantor），還有暱稱為布爾巴基（Bourbaki）的一群數學家，他們相信愛因斯坦的看法，相關的思想學派稱為形式主義（Formalism）。但是另一群傑出的思想家，包括哈迪（Godfrey Harold Hardy）、彭若斯（Roger Penrose）、哥德爾（Kurt G鐰el）則持對立的看法，這個思想學派稱為柏拉圖主義（Platonism）。
這項數學本質的爭論延續至今，似乎仍然很難解答。不過我相信，這是因為我們過度簡單的二分法提問「數學是發現還是發明？」，反而忽略了比較複雜的可能性：發明和發現都扮演了重要的角色。我認為兩者合起來才能解釋數學為什麼這麼有用。雖然消除發明與發現的對立性，並不能全然解釋數學不合理的有效性，但針對這個影響深遠的問題，即使是不完整的一小步，仍算有所進展。
既是發明也是發現
數學不合理的有效性有兩層很不一樣的意義，一者積極，一者消極。有時科學家為了將現實世界的現象量化，會發明特殊的方法。例如牛頓發明微積分是為了掌握運動與變化，於是將其切割成一連串無窮小的片段。因為這畢竟是量身打造的工具，所以這類積極發明當然有效。令人訝異的是在某些情況下，這些理論展現驚人的精確度。以量子電動力學為例，這是描述光和物質作用的數學理論。科學家計算電子的磁矩時發現，理論的計算值和2008年得到的最新實驗值1.00115965218073（以適當單位測量）符合，準確度竟高達兆分位。
也許更令人驚奇的是，有時數學家在發展一整套的研究時，心裡並沒有任何預設的應用。結果經過幾十年甚至幾百年後，物理學家才發現這個數學分支的研究，竟然和他們的觀察頗有相合之處。這種消極有效性的例子不勝枚舉，例如法國數學家迦羅瓦（屴ariste Galois）在19世紀初發展了群論，唯一目的是要判斷多項式的可解性。群的涵義很廣泛，它是由一些物件集合（例如整數）所構成的代數結構，並以某種運算（例如加法）來結合，而且該運算必須遵守特定規則。（其中包括單位元素如0的存在性，0加任何數的結果還是該數。）結果到了20世紀，這門非常抽象的數學，竟成為刻畫物質基礎，也就是基本粒子最豐饒的理論。1960年代，葛爾曼（Murray Gell-Mann）與尼曼（Yuval Neman）不約而同提出，有一類特殊群SU(3)反映了次原子粒子「強子」（hadron）的行為，這項關聯性最終為原子核如何結合的現代理論奠定了基礎。
結論（knot theory）為數學的消極有效性提供了另一個優美的範例。數學中的結和日常生活中的結類似，只是沒有鬆開的兩端。在1860年代，克爾文爵士（Lord Kelvin）想將原子描述成結狀的以太（ether），這個錯誤的模型因為無法解釋真實現象而失敗，此後數學家繼續研究結論幾十年，只是將它當做純數學的秘密武器。神奇的是，現在結論提供了弦論與環圈量子重力論的重要見解，這兩個領域是當今嘗試結合量子力學與廣義相對論，以建構出時空本質的最佳理論。
類似的，英國數學家哈迪在數論中的發現，促進了密碼學的發展，儘管哈迪曾經宣稱：「還沒有人發現數論的成果有任何類似戰爭上的用途。」另外在1854年，黎曼（Bernhard Riemann）描述了現在稱為黎曼幾何的非歐幾何，這是平行線可能會彼此相交或越離越遠的奇特空間。大半個世紀之後，愛因斯坦運用這種幾何學建立了廣義相對論。
於是一種模式浮現了：人們從周遭的世界萃取出某些元素，發明了數學概念，例如數、直線、形體、集合、群等，其中有些具有特殊目的，有些則只是純粹好玩。然後他們再繼續去發現這些數學概念之間的關係。由於整個發明與發現的過程是人為的（這和柏拉圖主義者所相信的發現不同），因此數學的終極根基是人類的感知與人們能夠喚起的心智圖像。例如人類天生就具有直接數感（subitizing），可以直接認知小的數量，這無疑導致了數的概念。另外，人類對個別物體的邊緣十分敏感，也很善於分辨直線與曲線，或是不同的圖形（例如圓與橢圓），這些能力可能導致算術與幾何的發展。還有人類不斷重複的因果經驗，至少為邏輯的發明做出部份貢獻，讓我們能從真確的敘述，推導出其他正確的敘述。
汰擇與演化
20世紀一位重要的數學家阿堤亞（Michael Atiyah），曾經提出一個很巧妙的思想實驗，顯示感知如何影響我們所具備的數學概念，即使連「數」這看似基本的數學概念也不例外。儘管德國數學家克羅內克（Leopold Kronecker）有句名言：「上帝創造自然數，其他一切都是人造的。」但是想像一下，如果這世界的智慧生物並不是人類，而是漫游在太平洋深海內一隻孤獨的水母，牠的所有生活經驗都是連續的，包括身體周圍的水流、起伏不定的溫度與壓力。在這樣的環境裡，缺乏特殊個別的物體或任何離散的現象，數的概念會萌發嗎？如果生活中沒有可以計數的東西，數會存在嗎？
就像這隻水母一樣，人類選擇能夠應用到世界的數學工具，這個事實無疑對數學的有效性有所貢獻。科學家並非恣意選擇分析方法，而是基於預測實驗結果的效果來選擇。在網球機發射網球時，你會用1、2、3等自然數來描述球的流量。但當消防隊員用水管時，就得使用體積或重量等概念，才能有意義地描述水量。同樣的，在觀察粒子加速器中次原子粒子的碰撞時，物理學家測量的是能量或動量，而不是最終剩下的粒子數目，因為最終數目頂多只能提供碰撞過程中粒子數的變化資訊罷了。
隨著時間流逝，只有最好的模型能夠繼續存在。失敗的模型可能還來不及發展就已被淘汰，譬如法國哲學家笛卡兒（Rene Descarte）曾企圖以宇宙質的渦流描述行星運動，就是失敗的例子。相較之下，成功的模型也會在新資訊出現時跟著演化，例如水星歲差的精確測量值，讓牛頓的重力論必須大幅修改，轉變成愛因斯坦廣義相對論的形式。所有成功的數學概念都很長壽，例如：阿基米德在公元前250年左右就已證明出的球表面積公式，到現在依舊適用。也因此，任何年代的科學家才可以在龐大的數學軍火庫中，搜尋最適當的數學方法。
科學家不只選擇最優質的解答，他們也傾向於選擇最適合用數學來處理的問題。但是，世上還有一大類數學不能精確預測的現象，有些甚至連原則上的預測都做不到。譬如在經濟學裡有許多難以用量化分析的變數（例如群眾的細部心理），而任何理論的預測值卻得仰賴變數之間的恆定關係。數學分析也不能全然掌握會發展出混沌現象的系統，這種系統起始條件的毫釐之差，就可能得到失之千里的最終結果，使得任何長期預測都會失準。數學家發展了統計學和機率論來處理這些缺失，不過數學本身有其局限，就像奧地利邏輯學家哥德爾知名的論證一樣。
大自然的對稱性
小心地選擇問題與工具，只能片面解釋以數學描述自然律的成功，因為首先自然律必須真的存在才行！數學家和物理學家很幸運，因為我們的宇宙似乎真的有自然律在管控：120億光年外的原子和地球上的原子行為相同；遠古的光和今天的光有著一樣的特性；形塑宇宙最初結構的重力，到現在仍然支配著銀河。數學家和物理學家發明了對稱性的概念，來描述這些對各種變化免疫的事實。
物理定律似乎在時間和空間上都有對稱性，不管我們在哪裡、何時、從什麼角度檢驗，都不會影響結果。它們對所有觀察者一視同仁，不論觀察者是靜止不動、等速運動或加速運動都一樣。結果就是相同的自然律可以解釋我們的實驗結果，不論實驗的位置在中國、美國阿拉巴馬州、仙女座星系，實驗的時間是現在，還是10億年之後。如果宇宙沒有這些對稱性，那麼任何想為宇宙的莊嚴設計解密、從觀察結果建立數學模型的努力都註定失敗，因為我們必須在宇宙時空的任一點，重複做著同一個實驗。
此外，在次原子世界的物理律裡還遍佈著稱為規範對稱（gauge symmetry）的微妙對稱性。例如，基於量子領域的模糊特性，一個粒子可能是帶負電的電子、不帶電的微中子，或者是兩者的混合，只有在測量它的電荷時才能區分。結果就是，在電子與微中子交換或混合時，自然律必須保持不變。相同的規律也發生在交換其他基本粒子的情況。沒有規範對稱，描述宇宙基本過程的理論就難以成立。同樣的，如果沒有局部性（locality），也無法建立這樣的理論。所謂局部性，就是宇宙的物體都只被它直接緊鄰而非遠距的現象所影響。幸好有局部性，我們才能像拼圖一樣拼合出宇宙的數學模型，先從基本粒子間的最基本作用力開始，再逐漸加入一片片的其他知識。
目前試圖統一所有交互作用的最佳數學模型，還需要另一種稱為超對稱（supersymmetry）的對稱性，在具有超對稱的宇宙裡，每種已知粒子都有一個還未發現的同伴。如果歐洲核子研究組織（CERN）的大型強子對撞機火力全開，發現這類粒子的話，就是數學有效性的另一次勝利。
文章開頭，我從兩個基本且相互關聯的問題開始：數學是發明還是發現？為何數學有解釋與預測的力量？我相信我們知道第一個問題的答案，數學是發明與發現錯綜複雜的融合。數學概念一般是發明出來的，可是這些概念之間的所有正確關係在被發現之前就已存在，但即便如此，人類仍然有選擇研究課題的自由。第二個問題比較複雜。我們選擇能以數學處理的課題，這樣的選擇無疑在數學的有效性上扮演了重要角色。但是如果沒有等著被發現的宇宙特性，數學根本不可能有用。現在你可以改問，為什麼大自然居然具有普遍的規律？或者問說，為什麼會有對稱性與局部性支配著宇宙？我真的不知道答案，只能指出也許在缺乏這些性質的宇宙裡，複雜性與生命根本無法突現出來，因此我們也根本不會在這兒詢問這些問題。
（本文由科學人提供，原載科學人2011年第115期9月號）
科學小視窗 ■ 開發不斷 東海岸珊瑚傷
▌文／科科報編輯小組
台灣東部海岸開發案不斷，台灣環境資訊協會發布東海岸珊瑚礁驗傷報告，發現陸地上的開發造成海下珊瑚礁浩劫，不僅嚴重破壞海岸景觀，也嚴重衝擊海下生態系。
澎湖共生藻協會指出，東部開發問題長期被忽視，連帶海底生態系相當豐富的事實也鮮為人知。但2011年珊瑚礁體檢數據顯示，台東杉原活珊瑚覆蓋率有28到50%，基翬則約有30%，分別達到國際珊瑚礁體檢基金會「優良」及「一般」的標準，然而活珊瑚覆蓋率每下愈況。
環團表示，目前除違法動工的美麗灣度假村，環繞著杉原海灣的還有杉原遊艇港、娜路彎大酒店、杉原棕櫚濱海度假村等5、6個大型開發案蓄勢待發，台東一向以好山好水著稱，這些開發案反而使台東變成窮山惡水。
