【科幻科學報 No.629】超越費曼圖─科幻科學報─智邦公益電子報
enews.url.com.tw · August 01,2017最ＩＮ話題 ■ 超越費曼圖
▌文／Zvi Bern、Lance J. Dixon、David A. Kosower
▌譯／高涌泉
▌提供／科學人
春天某個晴朗的日子，本文作者狄克森從英國倫敦地鐵的茂恩都站進入地鐵，想前往希斯洛機場。倫敦地鐵每天有300萬名乘客，他瞧著其中一位陌生人，無聊地想著：這位老兄會從溫布頓站離開地鐵的機率有多大？由於此人可能搭上任何一條地鐵路線，所以該如何推算這個機率呢？他想了一會，領悟到這個問題其實跟粒子物理學家所面對的麻煩很像，那就是該如何預測現代高能實驗中粒子碰撞的後果。
歐洲核子研究組織（CERN）的大強子對撞機（LHC）是這個時代最重要的探索實驗；它讓質子以近乎光速前進並相撞，然後研究碰撞後的碎片。我們知道建造對撞機及偵測器得用上最尖端的技術，然而較不為人知的是，解釋偵測器的發現同樣也是極為困難的挑戰。乍看之下，它不應該那麼困難才對，因為基本粒子的標準模型早已確立，理論學家也一直用此模型來預測實驗的結果，而且理論預測所依賴的是著名物理學家費曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就發展出來的計算技巧，每位粒子物理學家在研究生階段都學過費曼的技巧；關於粒子物理的每本科普書、每篇科普文章，也都借用了費曼的概念。
然而費曼的技巧對於當下的問題而言，其實已經無效！它雖然提供了一種直觀、近似的方法來掌握最簡單的過程，但是對於更複雜的過程或是更精確的計算來說，卻是無可救藥地繁雜。和預測一位地鐵乘客會往哪裡去相比，預測粒子碰撞後會出現什麼結果難太多了。即便是LHC中一次很普通的碰撞，我們就算是用上全世界的電腦，也沒有辦法推算出其結果。如果理論學家不能就已知物理定律與已知的物質形式做出精確的預測，那麼就算對撞機真的產生了新東西，我們又怎麼知道呢？就我們所知，LHC可能已經找到了大自然某些奧秘的答案，但是我們卻仍被蒙在鼓裡，原因就是我們對於標準模型方程式的解還不夠精確。
近年來，我們三人以及合作者已經發展出一種新的辦法：么正法（unitarity method），來分析粒子反應過程，它可以避開費曼法的繁複性，基本上等同於一種可以預測地鐵乘客會往哪裡去的高度簡便方法，其關鍵在於體認到每當地鐵乘客面臨選擇時，他的選項其實是受到相當限制的，因此我們可以把要追求的答案分解成一連串行動的機率。這個新方法已經讓我們解決了粒子物理中很多原本無從解決的理論問題，因此我們能夠更深入理解現今基本粒子理論的預測，辨認出新發現。這個方法也可以用於另一個有趣的模型，而得到很多結果；這個模型和標準模型類似，但是所描述的是一個理想化的世界，物理學家對它很感興趣，因為它被視為追求最終理論路上的墊腳石。
么正法不僅是有用的計算技巧而已，它暗示了粒子交互作用理論其實有一個嶄新的形式，此形式是由意料之外的對稱性所掌控，這意味著標準模型具有尚未受到重視的精緻面。特別值得一提的是，長久以來物理學家致力於將量子理論與愛因斯坦廣義相對論結合成量子重力論，么正法在這方面揭露了一個很奇怪的轉折。1970年代以前，物理學家一直假設重力的性質和其他基本交互作用是相似的，所以便設法推廣既有的理論以包容重力。但是當他們將費曼的技巧用於這類理論時，卻發現要不就得到荒謬的答案，要不就被複雜的數學給困住了；所以，重力看起來終究和其他力完全不同。因此沮喪的物理學家便轉向更革命性的點子，例如超對稱以及後來的弦論。
可是么正法讓我們能夠實際執行1980年代就試圖要做但無從做起的計算，結果發現某些原先料想的矛盾其實並不存在。也就是說，重力的確看起來和其他力是相似的，只是其方式令人意外：重力的行為像是「雙份」把核子束縛在一起的強核力。由於強核力是由膠子傳遞的，而重力應該是由稱為重力子的粒子來傳遞，么正法所提供的新圖像即是每個重力子就像是兩個縫在一起的膠子。這個概念相當奇怪，即便專家也還無法好好想像它的意義。無論如何，這個「雙份」的性質提供了一個嶄新的觀點，來探討重力如何能和其他力結合。
從一棵樹變成了森林
費曼的技巧何以那麼令人信服與有用？關鍵是它給了我們一個圖像式的規則，來對付極為複雜的計算。費曼法的核心是一種圖（常稱為費曼圖），讓我們以視覺方式來看待兩個或多個粒子碰撞或相互散射。在每個探究基本粒子物理的研究機構裡，你一定會看到黑板上畫滿了這種圖。理論學者在做定量預測時，會先畫一組圖，每個圖都代表粒子碰撞過程可能的進行方式，如同倫敦地鐵乘客可能選取的各種路徑。理論學者只要依循費曼以及戴森（Freeman Dyson）等人所定下的一組詳細規則，就可以賦予每個圖一個數字，代表該事件如圖發生的機率。
費曼法的缺點是我們可以畫出的圖太多了，原則上是無窮多個，不過就費曼當初發展這個方法的目的而言，這項缺點並不太要緊。他當時研究的是量子電動力學（QED），目的在於描述電子與光子的交互作用。此交互作用是由一個稱為「耦合係數」的量所控制，其大小約為1/137。由於這個電磁耦合係數很小，使得較為複雜的圖在計算中所佔的份量就比較小，因此常常可以忽略。就像對地鐵乘客來說，選擇較為簡單的路線通常比較有利。
20年之後，物理學家將費曼的技巧推廣至強核力。基於和QED的類比，強核力的理論稱為量子色動力學（QCD）。QCD也受到一個強耦合係數的控制，但是我們從「強」這個字，就可預料到QCD的強耦合係數要比QED的電磁耦合係數來得大。從表面上看，若耦合係數變大，則理論學家在計算中必須包括的複雜圖數量就得增加，這就好似如果地鐵乘客願意選擇非常迂迴的路線，我們就很難預測他的下一步。不過幸運的是，在非常短的距離內（包括LHC中粒子的碰撞所涉及的距離尺度），強耦合常數其實變小了，因此理論學家在計算最簡單的碰撞時，只要考慮不複雜的費曼圖就好。
然而，如果要處理雜亂的碰撞，則費曼法涉及的繁複之處就無法避免了。費曼圖中有「外線」與「環圈」，我們可以用外線的數目與環圈的數目來分類費曼圖。環圈代表量子理論最核心的特色之一：虛粒子。虛粒子雖然不可直接觀測，卻對力的強度（耦合係數的大小）有可觀測的效應。虛粒子遵循一切平常的自然定律，例如能量守恆與動量守恆，除了一個例外：虛粒子的質量和相對應的「實粒子」（即可以直接觀察到的）不一樣。環圈代表虛粒子極短暫的生命週期：它們忽然出現，行進很短的距離後，又消失了。虛粒子的質量決定了它們的壽命——質量越大壽命越短。
最簡單的費曼圖忽略了虛粒子，也就是沒有環圈，因此稱為樹圖。在量子電動力學中，最簡單的圖就是兩個電子藉由交換一個光子而相互排斥。接下來，我們可以將環圈一個個加進去，得到更複雜的圖。物理學家稱這種疊加的步驟為「微擾法」，意思是我們從某個近似（由樹圖代表）開始，然後藉由加上修正（由環圈代表）來逐漸擾動最初的近似。例如，當光子旅行於兩個電子之間，它可以自發地分裂成一個虛電子與一個虛正子，這一對電子與正子存在了很短的時間，然後相互湮滅而變回光子，此光子就繼續原先光子的旅程。如果我們考慮下一階的修正，則電子與正子自身也可能暫時分裂。費曼圖中虛粒子的數目越多，費曼圖就越能精確地描述量子效應。
不過即使是樹圖也很麻煩。在QCD中，你如果勇敢地考慮較複雜的碰撞，例如有兩個膠子進來，然後有八個膠子出去，則必須畫下約1000萬個樹狀費曼圖，並針對每個圖算出對應的機率。有一種稱為遞迴的辦法，是荷蘭來登大學的貝倫（Frits Berend）以及現今在美國費米實驗室的吉爾（Walter Giele）於1980年代首先發展出來的，能夠處理樹圖，但是無法推廣至圈圖；更糟糕的是，環圈帶來無法承擔的計算量。即便只涉及一個環圈，費曼圖的數量與每個圖的複雜度也都會大幅增加，數學公式足以填滿一本百科全書。利用更多電腦去硬算這些圖也只能應付一陣子，一旦外線與環圈的數量增加了，我們只有舉手投降。
更糟的是，原本費曼圖是一種將微觀世界視覺化的具體方式，現在卻反而讓微觀世界變得模糊不清：一個費曼圖就已經複雜到無以捉摸，要處理的圖又那麼多，我們根本弄不清到底關鍵在哪裡。可是真正令人震驚的是，當我們把所有的圖加起來，最後的結果卻相當簡單！有些圖會相互抵消，使得原本有幾百萬項的數學式有時會化簡成只剩一項！這些相消意味著費曼圖不是處理問題的正確工具，就好似拿羽毛來釘釘子。一定有更好的辦法才對。
比費曼圖更好的方法
多年來，物理學家嘗試過很多計算的技巧，每個都比先前的好一點，逐漸地，一個取代費曼圖的方法便成形了。我們從1990年代初期開始參與，當時我們之中的伯恩與寇索爾證明了可以利用弦論技巧，把所有相關的費曼圖整合進一個公式，簡化了QCD計算。接著我們三人用這個公式分析一個一直尚未了解的粒子反應：兩個膠子透過一個虛粒子環圈散射成三個膠子；這個過程如果以傳統的辦法處理，會非常複雜，但是我們可以用一個極其簡單的公式（可以寫進一張紙）來描述它。
這個公式如此簡單，以致於我們與當時在美國加州大學洛杉磯分校的鄧拔（David Dunbar）發現只要用一個稱為「么正性」的原理，便幾乎可以完全理解這個散射過程。么正性的意思是所有（量子過程）可能結果的機率加起來，必須是百分之百。（嚴格說來，我們處理的是機率的平方根，而非機率本身，不過在這裡這個區別並不重要。）在費曼的技巧中，么正性雖然也成立，但是常會被計算的複雜性所掩蓋，所以我們發展出另一種方法，以凸顯么正性的中心地位。其實將計算奠基在么正性上的想法在1960年代就已經出現，不過未獲青睞。科學上被放棄的點子有時會再改頭換面凱旋歸來，這是屢見不鮮的事。
么正法成功的關鍵在於避免直接利用虛粒子，那是讓費曼圖變得如此複雜的主因。這種粒子有真實的效應，也有虛假的效應；依定義，虛假的效應當然必須在最後的結果中彼此相消，所以它們是額外的數學包袱，物理學家當然很樂意拋棄掉。
我們可以用之前提過的地鐵類比來理解這個方法：在複雜的倫敦地鐵系統中，任何兩地鐵站間有很多條路徑；假設我們想知道一個人從茂恩都站進入地鐵而從溫布頓站出去的機率，費曼法相當於把所有可能路徑的機率加起來，這裡的「所有」是真的，亦即除了經由走廊與隧道，費曼圖包括了通過（沒有地鐵軌道與走道的）岩石的路徑；這些不實際的路徑就像是來自虛粒子圈的假貢獻，雖然最終會相消掉，但是在計算步驟中卻一個也不能漏掉；在么正法中，我們僅考慮那些有實際意義的路徑。我們把問題分解，以計算乘客走某條路徑的機率：這個人通過十字轉門、走這條或那條軌道的機率有多高？這樣可以大幅減少所需的計算量。
費曼法與么正法沒有對錯之分，兩者都呈現了同樣的基本物理定律，最後也都會得到相同的機率，但是它們代表了不同層次的描述。複雜的碰撞涉及數萬個費曼圖，其中一個費曼圖就像一滴液體中的一個分子；雖然原則上你可以追蹤所有的分子來決定流體的行為，但是這麼做只適用於微觀的極小滴液體，一般而言，這麼做是極吃力卻又無助於理解流體行為的事；流體可能從斜坡上沖下來，但我們卻很難從分子的角度去得知這件事；考慮上一層次的性質（例如流體速度、密度、壓力）可能會更有幫助。同樣的，與其把粒子碰撞想像成是由一個個費曼圖建構起來的，不如整體地看待它；我們應該全神貫注於那些會控制整個過程的性質，例如么正性以及在么正法中受重視的那些特殊對稱性。在某些特殊的例子中，我們可以做出完全精準的理論預測，如果利用費曼法，這需要用上無窮多個圖與無窮的時間！
么正法的好處還不只如此。在我們發展出用於虛粒子圈圖的么正法之後，那時在美國普林斯頓高等研究院的布瑞托（Ruth Britto）、卡察佐（Freddy Cachazo）、馮波（Bo Feng）與維頓（Edward Witten）提出了一個和我們互補的點子：他們再次考慮樹圖，例如可以從四個粒子的碰撞，再跟隨著一個粒子分裂成兩個粒子的這種過程的機率，去推算出涉及五個粒子的碰撞機率。這是令人驚訝的結果，因為五個粒子的碰撞，通常看起來非常不同於前述兩個前後相連的碰撞與分裂過程。這樣一來，我們可以用很多種方法把令人頭痛的粒子問題分解成較簡單的問題。
在對撞裡尋找新物理
LHC中的質子碰撞極為複雜，費曼曾經把這種碰撞比喻為拿瑞士錶互撞，以便了解其內部結構；他的技巧即是用於追蹤碰撞時所發生的事。質子不是基本粒子，而是由強核力將夸克與膠子束縛在一起的小球。當質子撞在一起，裡頭的夸克可以和夸克相撞、夸克可以和膠子相撞，而膠子也可以和膠子相撞，同時夸克和膠子也可以分裂成更多的夸克與膠子。最後它們聚在一起，成為複合粒子，以很細窄的噴束從對撞機噴射出來。
人類從未見過的新粒子、新對稱或新時空維度可能就藏在亂七八糟的噴束中，但是要把這些新東西篩檢出來很不容易。對於探測儀器而言，新粒子和普通粒子差異極小，很容易忽略。有了么正法，我們便可以非常精準地描述已知物理，使得不尋常的物理凸顯出來。
例如，美國加州大學聖巴巴拉分校的因坎德拉（Joe Incandela）目前是LHC中的緊湊緲子螺管偵測器（CMS）實驗團隊的發言人，他找上我們，詢問關於他的團隊在尋找構成宇宙暗物質的新粒子時遇上的問題。天文學家相信宇宙中存在著這種神秘物質，但是物理學家還沒找到它。如果LHC製造出這類粒子，CMS捕捉不到，我們只會注意到有些能量似乎消失了。不幸的是，能量的消失不能證明LHC製造出暗物質，舉例來說，LHC經常會產生Z玻色子，而每個Z玻色子有1/5的機率衰變成兩個微中子，微中子也是偵測器捕捉不到的（因為它們和一般物質的交互作用極微弱），所以我們也會發現能量不見了。那麼LHC會產生多少「效應類似暗粒子的標準模型粒子」呢？
因坎德拉的團隊提出一種預測方法：從CMS記錄的光子數量，去推論涉及微中子的事件數量，看看能否解釋失蹤的能量。如果不能，則LHC便可能產生了暗物質。這樣的推論方法其實相當典型，因為實驗學家無法直接觀測某些類型的粒子，只好這樣間接推論。不過這種方法要成功，因坎德拉的團隊必須精確估計光子數量和微中子數量的關係；除非他們相當清楚這一點，不然這種推論就會失敗。因此我們和幾位合作者用新的理論工具研究了這個問題，結論是因坎德拉團隊的估計還算相當精確。有了這樣的保證，CMS團隊便利用他們的方法對暗物質粒子的性質設下了最嚴格的限制。所以我們的技巧是有用的！
這次的成功鼓勵了我們去挑戰更難的計算。我們的合作夥伴包括委內瑞拉西蒙．波利瓦大學的柯戴羅（Fernando Febres Cordero）、以色列特拉維夫大學與美國加州大學洛杉磯分校的伊塔（Harald Ita）、英國德罕大學的默特瑞（Daniel Ma褾re）、美國史丹佛直線加速器中心的霍契（Stefan Hoche）與加州大學洛杉磯分校的歐茲潤（Kemal Ozeren）；他們來自全球各地，在現代粒子物理研究中，這是很常見的事。我們一起精準算出了LHC碰撞產生一對微中子與四個噴束的機率。如果使用費曼圖，即使很大的物理團隊以最新的電腦努力工作10年，這些計算還是太困難了。么正法讓我們在一年內就完成計算。另一個LHC實驗：超導環場探測器（ATLAS）的團隊已經把我們的預測和他們的實驗數據相比，目前為止非常相符，這讓我們非常高興。接下來，他們將利用這些結果去尋找新物理。
么正法也有助於尋找大家等待已久的希格斯粒子。找到希格斯粒子的一個跡象是碰撞之後產生了一個電子、一對噴束以及一個微中子，而看不到的微中子也同樣讓我們以為能量消失了。但是其他沒有涉及希格斯粒子的粒子反應也可能有相同的產物，所以么正法最初的用途之一就是精確計算出這些引起混淆的反應發生的機率。
回到重力
么正法有一個更令人驚歎的應用，那就是探究量子重力。物理學家如要發展出一個完備的大自然理論，就必須將重力融入量子力學架構之中。如果重力的行為和其他類型的力相似，它應該是由重力子來傳遞。重力子和其他粒子一樣，會互撞、會散射，而我們也能畫出相對應的費曼圖。然而當物理學家在1980年代中期，試著用最簡單的辦法來量子化愛因斯坦理論，以描述重力子的散射時，卻得到不合理的結果，例如一些明顯不可能是無窮大的量，卻被預測為無窮大。無窮大的量本身其實不是問題，因為它們可能出現於計算過程中，既使是像標準模型這種沒問題的理論，也可能出現無窮大。但是對於任何可觀測的量來說，計算過程中出現的無窮大最後應該全部相消掉；對重力而言，無窮大卻相消不掉。具體來講，這表示空間與時間的量子起伏（已故量子重力先驅惠勒稱之為「量子泡沫」）會越來越激烈，全然無法控制。
一個可能的解釋是大自然包含尚未發現的粒子，可以駕馭這些激烈的量子效應。這樣的點子已具體呈現於所謂的「超重力」理論之中，而且也在1970~1980年代初期為人深入研究。但是當間接論證暗示著不合理的無窮大還是會起自於超過兩個環圈的費曼圖時，大家的興奮就冷卻下來了。超重力似乎註定要失敗了。
失望的心情使得很多人轉向研究弦論。弦論和標準模型有很大的差異：根據弦論，粒子如夸克、膠子與重力子不再是微小的點，而是一維弦的振盪。粒子的交互作用是散開於弦上各處，並不是集中於單一個點，如此就自動避免了無窮大的產生。但是弦論有其麻煩之處，例如它無法對可觀測量做出明確的理論預測。
超重力理論捲土重來
在1990年代中期，英國劍橋大學的知名物理學家霍金（Stephen Hawking）鼓吹再給超重力理論一次機會。他指出，1980年代的研究者抄了近路，因此他們的結論是可疑的。不過霍金沒辦法說服任何人，因為人們走捷徑是有道理的：完整的計算是不可能的，其難度即使是最聰明的數學奇才也無法應付。如果要知道一個有三個虛重力子環圈的費曼圖是否會產生無窮大的量，我們必須計算1020項；如果考慮一個五環圈費曼圖，就必須計算1030項；這麼大的數字約等於LHC偵測器中原子的數目，難怪完整的計算註定無望。
么正法已經扭轉了整個局勢。我們利用么正法重新評估超重力理論，看看能否為它平反。原本需要計算1020項的工作，我們現在只需計算幾十項就夠了。這項工作的合作者包括美國賓州大學的羅易班（Radu Roiban）以及當時是加州大學洛杉磯分校研究生的卡拉斯柯（John Joseph Carrasco）與約翰松（Henrik Johansson），我們的結論是1980年代的猜測錯了：原本似乎無窮大的量其實是有限的，超重力沒有物理學家以為的那麼不堪，這意味著超重力中空間與時間的量子起伏遠比以前想像的緩和。讀者如果不停拿好酒來給我們，或許會碰上我們在揣測的某個超重力理論，可能就是追尋已久的量子重力論。
更有意思的是，三個重力子的交互作用很像是「雙份」的三個膠子的交互作用。無論有多少粒子在散射，無論涉及了多少虛粒子環圈，這個「雙份」性質似乎都成立，這意味著重力好像是強交互作用的平方。將前述數學上的發現翻譯成物理見解，並且檢驗它是否在所有狀況下都成立，還需要一些時間；但目前的最關鍵之處在於重力或許與其他的交互作用沒有什麼不同。
科學上屢見不鮮的情況是，在每次辯論塵埃落定之後，就會出現另一個爭議。在我們把三圈圖算出來之後，馬上就有人懷疑四圈圖可能會出問題。只要有爭議，就有人打賭；對於計算的結果有人賭上了好酒：義大利巴羅洛紅葡萄酒對上加州納帕山谷夏多內白葡萄酒。當我們完成計算之後，並沒有發現有麻煩的跡象，因此結束了這次辯論（並打開一瓶巴羅洛）。
那麼超重力理論是否就完全不會遇到無窮大？或者是理論中的高度對稱性僅僅在環圈數量很小時，才有抑制無窮大的功能？如果後者是對的，則麻煩應該在五圈圖就會悄悄出現，到了七圈圖，量子效應便會強烈到足以產生無窮大。如果七圈圖沒有無窮大，加州大學聖巴巴拉分校的葛羅斯（David Gross）願意拿出一瓶加州金芬黛紅葡萄酒；為了判定這個賭注，已經有人開始計算。假如七圈圖是有限的，懷疑者不僅會非常驚訝，最後還可能接受超重力是無矛盾的理論。不過既使如此，這個理論並沒有捕捉住所謂的非微擾效應，這些效應在我們使用的一圈圈往前計算的微擾法中，會過於細微而看不到；它們可能仍舊需要一個更深刻的理論（或許是弦論）來處理。
物理學家喜歡把新理論想成是來自新原理（如相對論、量子力學、對稱性）的大膽應用。但是有時候，新理論是起於對已知原理的仔細查驗。我們對於粒子碰撞的了解已大幅提升，這場寧靜革命使我們能夠以不得了的精確方式算出標準模型的結果，因此顯著提高了我們發現超越標準模型的新物理的能力。更讓人驚訝的是，這個方法讓我們探索了舊物理中尚待開發的角落，包括一條曾被忽略、卻可能是通往統一重力與其他已知力的路徑。從很多角度看，研究基本粒子如何散射的旅程，和乘坐可預測的倫敦地鐵其實不一樣，比較像是《哈利波特》中的爵士巴士之旅——你永遠無法完全清楚接下來會發生什麼事！
（本文由科學人提供，原載科學人2012年第125期6月號）
科學小視窗 ■ 植物如何因應環境變化
▌文／科科報編輯小組
台灣的中央研究院植物暨微生物學研究所連續發表2項重要研究成果，闡明植物如何因應環境的變化。
中研院指出，環境變化會限制植物生長，對於農作物生產力和生物多樣性有極大的影響。研究團隊日前分別於光線與水分兩項植物生長關鍵元素上，創新找到植物的生長調控機制，解釋植物如何有效率地感應光線及適應水分的變化，研究成果已發表於《美國國家科學院期刊》。
研究團隊首度證實一種全新型態的酵素「藻橘色素合成酶」具有啟動與活化植物光感應及訊息傳遞的功能，大幅修正以往學術界對植物之光感應的認知。另一項研究則發現不同品系的阿拉伯芥草在乾旱逆境下所累積的脯胺酸分子的差異可高達10倍，意味若欲以生物技術改造農作物耐旱性，脯胺酸代謝調控是最好的研究方向。
